Simulación del movimiento de caída de una bola¶

En esta sección vamos a simular la caída vertical de una bola desde una altura dada hasta que golpea el suelo y vuelve a subir debido al golpe. Como dijimos en la sección anterior, para llevar a cabo esta simulación lo único que necesitamos son las ecuaciones del método de Euler:

(1) $v_{i+1} = v_{i} + a_{i} \Delta t r_{i+1} = r_{i} + v_{i} \Delta t$

Por ejemplo, con ellas podemos calcular la primera posición que va a tener el objeto haciendo $i=0$ , con lo que tenemos

$v_{1} = v_{0} + a_{0} \Delta t r_{1} = r_{0} + v_{0} \Delta t$

$v_{0}$ y $r_{0}$ no son valores que puedan obtenerse a partir del método, sino que deben ser definidos por el usuario antes de empezar la simulación. Éstos corresponden a la velocidad y la posición iniciales de la bola, respectivamente. Para nuestro caso vamos a asumir que:

$v_{0} = 0 r_{0} = 10$

lo que quiere decir que la bola se deja caer sin velocidad desde una altura de 10m.

Por su parte, el valor de $a_{0}$ es la aceleración que experimenta la bola durante su recorrido, que es igual al valor de la gravedad, es decir que

$a_{0} = -9.8$

Si la distancia desde la cual se deja caer el objeto no es muy grande, este valor se puede asumir constante durante todo el recorrido, es decir que para cualquier valor de $i$ siempre se va a tener que

$a_{i} = -9.8$

Con estos valores y las ecuaciones del método de Euler, podemos desarrollar un programa en Python que realice la simulación.

Código en Python¶

Para programar el código en Python vamos a seguir estos pasos:

Definir las siguientes constantes, para asignarles varios valores que son necesarios para correr la simulación:
- r, para el radio de la bola.
- p0, para la posición inicial.
- v0, para la velocidad inicial.
- t0, para el tiempo inicial.
- g, para la aceleración de la gravedad.
- dt, para el intervalo de tiempo $\Delta t$ . El valor que se le asigne a esta variable debe ser pequeño, pero no tanto como para que la simulación se demore mucho tiempo en correr. Por ejemplo, si se elige:
```
dt = 1
```
  quiere decir que la simulación avanza en pasos de 1 segundo.
- T, para el tiempo total de la simulación, es decir, si deseamos correr la simulación durante 5, 10 o 20 segundos.
Definir tres listas: posiciones, velocidades y tiempos, para guardar los valores de posición, velocidad y tiempo, respectivamente, que se vayan calculando con el método de Euler.
Añadirle los valores de p0, v0 y t0 a las listas anteriores.
Usar un ciclo for y las ecuaciones (1) para obtener las velocidades y posiciones sucesivas que va tomando la bola en su caída.

Calcular el número de pasos que se van a calcular con el método de Euler como:
```
n = int(round(T/dt))
```
No olvidar guardar los nuevos valores que se vayan generando en las listas de posiciones, velocidades, y los tiempos en la de tiempos.
Finalmente, dentro del ciclo for incluir un if para hacer que la bola rebote contra el suelo y vuelva a subir, el cual debe provocar que la bola cambie su velocidad del valor que tiene en el momento a su valor opuesto.

Una vez realizadas la simulación, pueden usarse otras librerías para generar una animación de la misma, como veremos a continuación.

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